La théorie des probabilités constitue le socle mathématique indispensable de la statistique inférentielle et de la science des données. Elle permet de quantifier le hasard, de modéliser l'incertitude et de comprendre la distribution des phénomènes réels.
R brille particulièrement dans ce domaine grâce à une nomenclature standardisée universelle d'une élégance rare pour manipuler toutes les lois de probabilités.
1. La règle d'or des quatre préfixes en R (d, p, q, r)#
Pour chaque loi de probabilité implémentée en R (normale, binomiale, poisson, etc.), le langage fournit exactement quatre fonctions identifiées par une lettre préfixe :
Les 4 Fonctions Fondamentales d'une Loi
┌──────────┬─────────────────────────────┬─────────────────────────────────┐
│ Préfixe │ Nom & Signification │ Question à laquelle elle répond │
├──────────┼─────────────────────────────┼─────────────────────────────────┤
│ d... │ Densité / Masse (Density) │ Quelle est la proba P(X = x) ? │
│ p... │ Fonction de Répartition (CDF)│ Quelle est la proba P(X ≤ x) ? │
│ q... │ Quantile (Inverse de la CDF)│ Quel seuil x donne P(X ≤ x) = p?│
│ r... │ Aléatoire (Random Generation│ Générer n tirages simulés de X. │
└──────────┴─────────────────────────────┴─────────────────────────────────┘
2. Analyse combinatoire : Dénombrer les possibles#
Avant d'aborder les lois, R dispose de primitives pour le dénombrement :
# Factorielle n!
factorial(5) # 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = [1] 120
# Combinaison : C(n, k) = "k parmi n"
choose(n = 10, k = 3) # Nombre de sous-groupes de 3 personnes parmi 10 : [1] 120
# Tirage aléatoire sans remise
sample(1:20, size = 5, replace = FALSE)
3. Les lois de probabilités discrètes#
Une variable aléatoire est discrète lorsqu'elle ne prend que des valeurs entières isolées (ex : nombre de succès, nombre d'accidents).
1. La loi Binomiale : \(\mathcal{B}(n, p)\)#
Modélise le nombre de succès \(k\) obtenus lors de la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès \(p\) :
# Exemple : On lance 10 fois une pièce équilibrée (n = 10, p = 0.5)
# 1. dbinom : Probabilité d'obtenir EXACTEMENT 6 fois Face : P(X = 6)
dbinom(x = 6, size = 10, prob = 0.5) # [1] 0.2050781 (20.5 %)
# 2. pbinom : Probabilité d'obtenir AU PLUS 4 fois Face : P(X <= 4)
pbinom(q = 4, size = 10, prob = 0.5) # [1] 0.3769531
# 3. Probabilité d'obtenir AU MOINS 7 fois Face : P(X >= 7) = 1 - P(X <= 6)
1 - pbinom(q = 6, size = 10, prob = 0.5)
# ou avec l'argument lower.tail = FALSE
pbinom(q = 6, size = 10, prob = 0.5, lower.tail = FALSE) # [1] 0.171875
# 4. rbinom : Simuler 100 expériences de 10 lancers
simulations <- rbinom(n = 100, size = 10, prob = 0.5)
2. La loi de Poisson : \(\mathcal{P}(\lambda)\)#
Modélise le nombre d'occurrences d'un événement rare sur un intervalle de temps donné avec une moyenne \(\lambda\) :
# Exemple : Un centre d'appels reçoit en moyenne 4 appels par minute (lambda = 4)
# Probabilité de recevoir exactement 2 appels en une minute : P(X = 2)
dpois(x = 2, lambda = 4) # [1] 0.1465251 (14.65 %)
# Probabilité de recevoir au maximum 5 appels : P(X <= 5)
ppois(q = 5, lambda = 4) # [1] 0.7851304
4. Les lois de probabilités continues#
Une variable aléatoire est continue lorsqu'elle peut prendre n'importe quelle valeur réelle dans un intervalle (temps, taille, poids, température).
1. La reine des lois : La loi Normale \(\mathcal{N}(\mu, \sigma)\)#
Caractérisée par sa célèbre courbe en cloche symétrique autour de son espérance \(\mu\) et son écart-type \(\sigma\) :
# Exemple : La taille d'une population d'adultes suit une loi normale N(175 cm, 7 cm)
mu <- 175
sigma <- 7
# 1. pnorm : Pourcentage de personnes mesurant moins de 182 cm : P(X <= 182)
pnorm(182, mean = mu, sd = sigma) # [1] 0.8413447 (84.1 %)
# 2. Pourcentage de personnes mesurant entre 168 cm et 182 cm (mu ± sigma)
pnorm(182, mu, sigma) - pnorm(168, mu, sigma) # [1] 0.6826895 (~ 68.3 %)
# 3. qnorm : Quelle taille correspond au 95e percentile (les 5% les plus grands) ?
qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma) # [1] 186.5139 cm
# 4. rnorm : Simuler un échantillon aléatoire de 1 000 personnes
echantillon <- rnorm(n = 1000, mean = mu, sd = sigma)
hist(echantillon, breaks = 30, col = "skyblue", main = "Loi Normale Simulée")
La Règle Empirique 68-95-99.7
┌─────────────────────────────┐
│ μ ± 1σ ──► 68.3 % │
│ μ ± 2σ ──► 95.4 % │
│ μ ± 3σ ──► 99.7 % │
└─────────────────────────────┘
2. La loi Uniforme continue : \(\mathcal{U}(a, b)\)#
Toutes les valeurs comprises entre \(a\) et \(b\) ont la même probabilité :
5. Le Théorème Central Limite (TCL) en action#
Le Théorème Central Limite affirme que la moyenne d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes tend vers une loi normale, quelle que soit la loi d'origine !
Vérifions-le en R en simulant la moyenne de 30 lancers d'un dé cubique (loi uniforme discrète) répété 5 000 fois :
# Simuler 5000 moyennes d'échantillons de taille 30
moyennes_des <- replicate(5000, mean(sample(1:6, size = 30, replace = TRUE)))
# Tracer la distribution des moyennes
hist(moyennes_des, breaks = 40, col = "lightgreen", border = "darkgreen",
main = "Illustration du Théorème Central Limite",
xlab = "Moyenne observée sur 30 dés")
La distribution résultante affiche une forme de cloche gaussienne parfaite centrée sur l'espérance théorique \(3.5\) !
Mise en pratique#
- Une chaîne de production fabrique des composants électroniques avec un taux de défaut de 2 % (\(p = 0.02\)). Un lot comprend 100 composants (\(n = 100\)).
- Calculez la probabilité qu'un lot ne contienne aucun composant défectueux (\(P(X = 0)\)).
- Calculez la probabilité qu'un lot contienne au plus 3 composants défectueux (\(P(X \le 3)\)).
- Les notes à un examen national suivent une loi normale \(\mathcal{N}(\mu = 11, \sigma = 3)\).
- Quel est le pourcentage d'étudiants ayant obtenu une note supérieure ou égale à 14 ?
- Quel est le seuil de note minimal pour faire partie des 10 % des meilleurs candidats (90ᵉ centile) ?
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