L'estimation ponctuelle nous donne un nombre unique (par exemple : « la moyenne observée est de 2 437 € »), mais elle ne nous renseigne pas sur le degré de précision de cette estimation.

Un intervalle de confiance (Confidence Interval - IC) répond à ce besoin en encadrant le paramètre inconnu de la population globale dans une fourchette \([Borne_{inf}, Borne_{sup}]\) associée à un niveau de confiance fixé à l'avance (typiquement 95 % ou 99 %).

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1. La signification exacte d'un intervalle de confiance à 95 %

[!WARNING] Le piège d'interprétation le plus fréquent :
Dire : « Il y a 95 % de chances que la vraie moyenne \(\mu\) se trouve dans mon intervalle calculé » est un abus de langage mathématique !
La vraie moyenne \(\mu\) est une constante fixe du monde réel (elle n'est pas aléatoire).
L'interprétation rigoureuse est la suivante :
Si l'on prélevait 100 échantillons aléatoires différents et que l'on calculait 100 intervalles de confiance distincts, 95 d'entre eux contiendraient la vraie moyenne de la population, et 5 passeraient à côté.

Échantillon 1 : [─────── ● ───────]  (Contient μ)
Échantillon 2 :    [─────── ● ───────] (Contient μ)
Échantillon 3 : [─────── ● ───────]  (Contient μ)
Échantillon 4 :                         [── ● ──] (Rate la vraie valeur μ !)
                ─────────────┼───────────────────► Valeur réelle μ

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2. Intervalle de confiance d'une moyenne avec t.test()

Dans la quasi-totalité des situations réelles, l'écart-type réel \(\sigma\) de la population est inconnu et doit être estimé par \(s\). Pour compenser l'incertitude liée aux petits ou moyens échantillons, on utilise la loi de Student (t-distribution) plutôt que la loi normale :

\[IC_{95\%}(\mu) = \left[ \bar{x} - t_{0.975; n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \; ; \; \bar{x} + t_{0.975; n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \right]\]

En R, il est inutile de calculer ces formules à la main. La fonction t.test() calcule automatiquement l'intervalle exact :

# Échantillon de temps de livraison en minutes
livraisons <- c(28, 35, 42, 29, 31, 38, 45, 33, 30, 36)

# Calcul du test t de Student avec intervalle de confiance à 95%
res_t <- t.test(livraisons, conf.level = 0.95)

# Extraction directe de l'intervalle de confiance
res_t$conf.int

Sortie :

[1] 30.68685 38.71315
attr(,"conf.level")
[1] 0.95

Conclusion : Au niveau de confiance de 95 %, le temps moyen de livraison de l'ensemble de la flotte est compris entre 30,7 et 38,7 minutes.

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3. Intervalle de confiance d'une proportion avec prop.test()

Lorsqu'on étudie un taux ou un pourcentage (ex : résultat d'un sondage d'opinion, taux de clics sur une publicité), on utilise la fonction prop.test() :

Supposons que sur un échantillon de \(n = 1\,000\) personnes interrogées, \(k = 540\) déclarent avoir l'intention de voter pour le candidat \(A\) :

# Test de proportion (k succès parmi n essais)
res_prop <- prop.test(x = 540, n = 1000, conf.level = 0.95)

# Extraction de l'intervalle de confiance
res_prop$conf.int

Sortie :

[1] 0.5085448 0.5711674

Conclusion : Nous pouvons affirmer avec 95 % de confiance que le score réel du candidat dans la population globale se situe entre 50,9 % et 57,1 %.

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4. Qu'est-ce qui influence la largeur de l'intervalle ?

La largeur (ou marge d'erreur) d'un intervalle de confiance dépend directement de trois facteurs :

1. La taille de l'échantillon (\(n\)) : Plus \(n\) est grand, plus l'intervalle se resserre (la précision augmente avec \(\sqrt{n}\)).
2. Le niveau de confiance (\(1 - \alpha\)) : Un intervalle à 99 % sera plus large qu'un intervalle à 95 %, car pour être plus certain de ne pas rater la cible, il faut élargir le filet !
3. La dispersion (\(s\)) : Plus les données sont variables et bruitées, plus l'intervalle sera large.

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Mise en pratique

1. Soit un échantillon de 15 mesures de température d'un réacteur :

   mesures <- c(102, 98, 105, 99, 101, 103, 100, 97, 104, 102, 99, 101, 100, 103, 98)
   

2. Calculez l'intervalle de confiance de la moyenne de température à 95 % avec t.test().
3. Recalculez cet intervalle avec un niveau de confiance à 99 % (conf.level = 0.99). Que constatez-vous quant à sa largeur ?
4. Lors d'un test A/B marketing sur un site web, 85 utilisateurs sur 500 ont cliqué sur le bouton de commande. Calculez l'intervalle de confiance à 95 % du taux de conversion avec prop.test().

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